mlp.tex 11.6 KB
Newer Older
Loïc Barrault's avatar
Loïc Barrault committed
1
2
% !TEX root = m1_aan_mlp.tex

Loïc Barrault's avatar
Loïc Barrault committed
3
4
%\section*{MLP}
%\subsection*{Intro}
Loïc Barrault's avatar
Loïc Barrault committed
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83

\begin{frame}
\frametitle{Motivation pour les perceptrons multi-couches}

Ajouter une couche dans un réseau à seuil permet de résoudre le %cachée
problème du XOR. 
(Il existe de nombreuses solutions à ce problème).

\vfill
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\textwidth,center]{figures/mlp_xor} \\
  a XOR b = (a OU b) ET NON (a ET b)
\end{center}
\vfill
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron multi-couches}

\centerline{\includegraphics[width=0.45\textwidth,center]{figures/mlp_xor}}

\begin{itemize}
\item Lorsqu'on utilise des fonctions d'activité non-linéaires un réseau de
neurones multi-couches permet de calculer toute fonction non-linéaire
de \mbox{$\R^n \rightarrow \R^m$}.

  \item[\ra]  \alert{reconnaissance :} 
     comment évaluer $\vy$ pour une entrée $\vx$ donnée
  \item[\ra] \alert{apprentissage :} 
     comment déterminer $\mW$ pour obtenir le comportement désiré ?
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron multi-couches : reconnaissance}
\includegraphics[width=0.7\textwidth,center]{figures/BpMlp}
%\begin{center}
%  Évaluation des activités couche par couche : \\
%  \begin{eqnarray*}
%    y_i^{(2)} & = & f(\sum_j w^{(1)}_{ij} x_j^{(1)}) \\
%    y_i^{(3)} & = & f(\sum_j w^{(2)}_{ij} y_j^{(2)}) \\
%          & \vdots & \\
%    y_i^{(c)} & = & f(\sum_j w^{(c-1)}_{ij} y_j^{(c-1)}) \\
%  \end{eqnarray*}
%  $\Rightarrow$ \alert{propagation} de l'entrée $\vx$ vers la sortie $\vy$
%\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron multi-couches : reconnaissance}
\vspace{-1cm}
\begin{columns}
\begin{column}{8cm}
{\small
\begin{itemize}
\item Évaluation des activités couche par couche : \\
  \begin{eqnarray*}
    y_i^{2} & = & f\left(\sum_j w^{1}_{ij} ~ x_j^{1}\right) \\
    y_i^{3} & = & f\left(\sum_j w^{2}_{ij} ~ y_j^{2}\right) \\
          & \vdots & \\
    y_i^{c} & = & f \left(\sum_j w^{c-1}_{ij} ~ y_j^{c-1}\right) \\
  \end{eqnarray*}
  $\Rightarrow$ \alert{propagation} de l'entrée $\vx$ vers la sortie $\vy$
\end{itemize}
}
\end{column}

\begin{column}{3cm}
\vspace{3cm}
\includegraphics[width=6cm,right,angle=270]{figures/BpMlp}
\end{column}

\end{columns}

\end{frame}



Loïc Barrault's avatar
Loïc Barrault committed
84
%\subsection*{Le perceptron multi-couches : apprentissage}
Loïc Barrault's avatar
Loïc Barrault committed
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron multi-couches : apprentissage}
  
\begin{itemize}
  \item
  utiliser une \alert{base d'apprentissage} avec des exemples typiques
  et des réponses désirées :
  $\{(\vx^{1}, \vc^{1}), \ldots (\vx^{N}, \vc^{N})\}$
  \item 
  minimiser un \alert{critère de différence} entre $\vy$ et $\vc$~:
  \[
    J = \sum_{\textrm{\small ex. } e} E(\vy^{e}, \vc^{e})
  \]
  par une \alert{méthode numérique d'optimisation}, \\
  p.ex. par descente de gradient~:
  \[
    \wij^{nouv} = \wij^{avant}
       - \lambda \frac{\partial J}{\partial \wij}
  \]
  \item[$\Rightarrow$] 
  comment calculer $\ds {\partial E} / {\partial \wij}$ ?
  \begin{itemize}
    \item[a)] couche de sortie : facile
    \item[b)] couche cachée : \tabtl{problématique puisqu'on n'a plus les valeurs désirées}
  \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
\small
\frametitle{Rétro-propagation du gradient (Backpropagation)}
\vfill
\centering{
\tabcc{\includegraphics[width=6cm]{figures/mlp_bp_grad}}
\hspace{1cm}
$\begin{array}[c]{rcl}
  h_j & = & f(z_j) \\
  z_j & = & \ds \sum_k v_{jk} x_k \\[5mm]
  y_i & = & f(a_i) \\
  a_i & = & \ds \sum_j \wij h_j \\
\end{array}$
}
\vfill
\end{frame}

\begin{frame}
\small
\frametitle{Rétro-propagation du gradient (Backpropagation)}

%\includegraphics[width=3cm,right]{figures/mlp_bp_grad}

\[
\begin{array}[t]{rcl}
  \multicolumn{3}{l}{\mbox{Couche de sortie :}} \\[10pt]
  \ds \frac{\partial E}{\partial \wij}
    & = & \ds \underbrace{\frac{\partial E}{\partial a_i}}_{\delta_i}
        \, \frac{\partial a_i}{\partial \wij}
     %%= \delta_i \, \frac{\partial}{\partial a_i} \sum_j \wij h_j 
     = \delta_i \, h_j \\[30pt]
  \mbox{ avec } \delta_i
     & = & \ds \frac{\partial E}{\partial y_i}
         \, \frac{\partial y_i}{\partial a_i} \\[15pt]
    & = & \ds \frac{\partial E}{\partial y_i} \, f'(a_i)
\end{array}
\hspace{0cm}
\begin{array}[t]{rcl}
  \multicolumn{3}{l}{\mbox{Couche cachée :}} \\[10pt]
  \ds \frac{\partial E}{\partial v_{jk}}
    & = & \ds \underbrace{\frac{\partial E}{\partial z_j}}_{\gamma_j}
        \, \frac{\partial z_j}{\partial v_{jk}}
    %%= \gamma_j \frac{\partial}{\partial z_j} \sum_j v_{jk} h_j 
    = \gamma_j  \,x_k \\[30pt]
  \mbox{ avec } \gamma_j
    & = & \ds \sum_i \frac{\partial E}{\partial a_i} \,
          \frac{\partial a_i}{\partial h_j} \,
          \frac{\partial h_j}{\partial z_j} \\[15pt]
    & = & \ds \sum_i \delta_i \, \wij \, f'(z_j) \\
    & = & f'(z_j) \ds \sum_i \delta_i \wij
\end{array}
\]

\vfill
\centerline{\Ra\ calcul itératif de la sortie vers l'entrée}
\end{frame}

%---------------------
\begin{frame}
\frametitle{Backpropagation~: fonctions d'erreurs}

\begin{block}{Pour chaque type de problème~:} 
\begin{itemize}
\item  Quelle fonction d'activation ?
\item  Quelle fonction d'erreur ?
\end{itemize}
\end{block}


\begin{block}{Régression~:} 
\begin{itemize}
\item[\ra] estimer une valeur dans un ensemble continu de réel
\item fonction d'activation linéaire + erreur euclidienne
\end{itemize}
\[
\begin{array}[t]{rcl@{\hspace{2cm}}rcl}
  y_i & = & a_i 
  & \ds \partial y_i / \partial a_i & = & 1 \\[6pt]
  E(\vy,\vc) & = & \half \ds \sum_i (y_i-c_i)^2
  & \ds {\partial E} / {\partial y_i} & = & \ds (y_i - c_i)
\end{array}
\]
\end{block}
\end{frame}

%---------------------
\begin{frame}
\frametitle{Backpropagation~: fonctions d'erreurs}
\begin{block}{Classification~: sigmoïde + erreur euclidienne}
  \begin{itemize}
\item      réponses désirées $\pm 0.6$ pour éviter la saturation
\end{itemize}
\[
\begin{array}[t]{rcl@{\hspace{1cm}}rcl}
  y_i & = & \tanh(a_i) 
  & \ds {\partial y_i} / {\partial a_i} & = & 1 - y_i^2 \\[6pt]
  E(\vy,\vc) & = & \half \ds \sum_i (y_i-c_i)^2
  & \ds {\partial E} / {\partial y_i} & = & \ds (y_i - c_i)
\end{array}
\]
\end{block}

\begin{block}{Probabilités \textit{a posteriori}~: softmax + cross-entropie }
\[
\begin{array}[t]{rcl@{\hspace{1cm}}rcl}
  y_i & = & \ds \frac{e^{a_i}}{\sum_k e^{a_k}}
  & \ds {\partial y_i} / {\partial a_k} & = & \delta_{ik}y_i - y_i y_k \\[10pt]
  \ds E(\vy,\vc) & = & \ds \sum_i c_i \log y_i
  & \ds {\partial E} / {\partial y_i} & = & \ds \frac{c_i}{y_i}
\end{array}
\]
\end{block}
\end{frame}


Loïc Barrault's avatar
Loïc Barrault committed
229
%\subsection*{Astuces}
Loïc Barrault's avatar
Loïc Barrault committed
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
\begin{frame}
\frametitle{Déroulement d'un apprentissage}

\begin{itemize}
  \item[1.] Normaliser les données
  \item[2.] Initialiser les poids $\mW$
  \item[3.] \alert{Répéter}
        \begin{itemize}
        \item Choisir un exemple $(\vx,\vc)$
        \item Propager l'exemple $\vx$ à travers le réseau \ra\ $\vy$
        \item Évaluer la fonction d'erreur $E(\vy,\vc)$
        \item Rétro-propager le gradient d'erreur \ra\ $\nabla \wij$
        \item Mise à jour des poids $W$
        \item Modifier éventuellement les paramètres d'apprentissage 
        \item[\ra] cf. $\lambda$ plus loin.
        \end{itemize}
  \item[  ] \alert{Jusqu'à convergence}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Backpropagation: normalisation et initialisation}

\centerline{
\tabcc{\includegraphics[width=4cm]{figures/tanh}}
\hspace{5mm}
\begin{tabular}[c]{l}
  Si l'activité $|a|$ est très grande \\
  $\rightarrow$ $f'(a)$ est faible \\
  $\rightarrow$ convergence est lente
\end{tabular}
}

\begin{itemize}
  \item Normalisation des entrées du réseau~:\\
          \tabtl{soustraire la moyenne et diviser par la variance}
  \item Initialisation des poids~: 
          avec des valeurs aléatoires dans $[-1/\sqrt{f},1/\sqrt{f}]$ \\
$f$ est le \textit{fan-in} (nombre de poids arrivant à ce neurone)
          
  \item[\Ra] $\ds a = \sum_i w_i x_i$ est relativement petit
\end{itemize}
\end{frame}


%--------------------------
\begin{frame}[t]
\frametitle{Backpropagation~: choix des exemples}

\begin{block}{\bf Théorie~:}
  minimiser $\ds J=\sum_{e \in App} E(\vy^{e}, \vc^{e})$ avec $App$ les exemples d'apprentissage
\end{block}

\begin{block}{\bf Méthode \alert{\textit{batch}}~:}
\begin{itemize}
    \item présenter \textbf{tous} les exemples et cumuler les
          $\partial E / \partial \wij$
  \item puis faire une mise à jour des poids
  \item[\ra] problème~: convergence est très lente
\end{itemize}
\end{block}

\end{frame}

%--------------------------
\begin{frame}[t]
\frametitle{Backpropagation~: choix des exemples}

\begin{block}{\bf Théorie~:}
  minimiser $\ds J=\sum_{e \in App} E(\vy^{e}, \vc^{e})$ avec $App$ les exemples d'apprentissage
\end{block}

\begin{block}{\bf Méthode \alert{\textit{stochastique}}~:}
\begin{itemize}
  \item mise à jour des poids après \textbf{chaque} exemple (choix aléatoire !)
  \item[+] on profite des redondances entre les exemples
  \item[--] $E$ (erreur) peut augmenter, mais cela permet éventuellement de s'échapper d'un minimum local
\end{itemize}
\end{block}

\end{frame}



%%\begin{frame}
%%
%%\frametitle{Backpropagation~: Algorithmes d'Optimisation}
%%
%%\vfill
%%\centerblock{16cm}{
%%\begin{block}{\bf Théorie~:}
%%\begin{itemize}
%%  \item[1.] descente de gradient
%%  \item[2.] gradients conjugués
%%  \item[3.] méthode de Newton
%%  \item[4.] méthodes quasi-Newton
%%\end{itemize}
%%}
%%\vfill
%%
%%

%--------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Backpropagation~: paramètres d'apprentissage}

\vspace{-1cm}
\[
  \wij^{nouv} = \wij^{avant} - \lambda \frac{\partial E}{\partial \wij}
\]

\begin{block}{Théorie~:}
\begin{itemize}
  \item $\lambda$ trop petit $\rightarrow$ convergence est très lente
  \item $\lambda$ trop grand $\rightarrow$ oscillations ou divergence
  \item Calcul exact possible mais trop coûteux
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Pratique~:}
\begin{itemize}
  \item décroissance exponentielle~:
          $\ds \lambda' = \frac{\lambda}{1+nbr\_iter}$
  \item il y a plein d'autres heuristiques
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}

%--------------------------
\begin{frame}
  \frametitle{Réseaux de Neurones en pratique}
  \begin{block}{Architecture du réseau}
  \begin{itemize}
    \item Dimension de l'entrée généralement donnée par le problème
    \item Nombre de sorties = nombre de classes
    \item Combien de couches cachées et combien de neurones ?
\begin{itemize}
    \item[\Ra] c'est la magie noire des RdN ... !!
    \item Pas de règles prédéfinie pour déterminer le nombre optimal
    \item Il faut essayer différentes structures et garder celle qui
	donne les meilleurs résultats sur les données de développement
\end{itemize}
  \end{itemize}
  \end{block}
\end{frame}

%--------------------------
\begin{frame}
  \frametitle{Réseaux de neurones en pratique}
  \begin{block}{Apprentissage}
  \begin{itemize}
    \item Il est important de mélanger les exemples \\
	
	\begin{itemize}
\item[\ra] pas une classe après l'autre !
\end{itemize}

    \item Le choix des paramètres d'apprentissage
    \begin{itemize}
\item $\lambda$ + heuristique de mise à jour
\item initialisation
\end{itemize}

    \item On veut apprendre les caractéristiques du problème et
	pas tous les moindres détails des données d'apprentissage
	\begin{itemize}
	\item Quand faut-il arrêter l'apprentissage (convergence) ?
	\item Calculer le taux d'erreur sur les données de développement après chaque itération
 	\item[\Ra] Arrêter l'apprentissage lorsqu'il diminue plus
	\item[\ra] conserver un pouvoir de généralisation important
	\item[\ra] éviter le \alert{sur-apprentissage}
	\end{itemize}
 %   \item Effet de \textbf{sur-apprentissage}
  \end{itemize}
  \end{block}
\end{frame}