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\begin{frame}
\frametitle{Motivation pour les perceptrons multi-couches}

Ajouter une couche dans un réseau à seuil permet de résoudre le %cachée
problème du XOR. 
(Il existe de nombreuses solutions à ce problème).

\vfill
\begin{center}
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  \includegraphics[width=0.5\textwidth,center]{figures/mlp_xor} \\
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  a XOR b = (a OU b) ET NON (a ET b)
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\vfill
\end{frame}

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\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron multi-couches}

\centerline{\includegraphics[width=0.45\textwidth,center]{figures/mlp_xor}}

\begin{itemize}
\item Lorsqu'on utilise des fonctions d'activité non-linéaires un réseau de
neurones multi-couches permet de calculer toute fonction non-linéaire
de \mbox{$\R^n \rightarrow \R^m$}.

  \item[\ra]  \alert{reconnaissance :} 
     comment évaluer $\vy$ pour une entrée $\vx$ donnée
  \item[\ra] \alert{apprentissage :} 
     comment déterminer $\mW$ pour obtenir le comportement désiré ?
\end{itemize}
\end{frame}

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\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron multi-couches : reconnaissance}
\includegraphics[width=0.7\textwidth,center]{figures/BpMlp}
%\begin{center}
%  Évaluation des activités couche par couche : \\
%  \begin{eqnarray*}
%    y_i^{(2)} & = & f(\sum_j w^{(1)}_{ij} x_j^{(1)}) \\
%    y_i^{(3)} & = & f(\sum_j w^{(2)}_{ij} y_j^{(2)}) \\
%          & \vdots & \\
%    y_i^{(c)} & = & f(\sum_j w^{(c-1)}_{ij} y_j^{(c-1)}) \\
%  \end{eqnarray*}
%  $\Rightarrow$ \alert{propagation} de l'entrée $\vx$ vers la sortie $\vy$
%\end{center}
\end{frame}

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\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron multi-couches : reconnaissance}
\vspace{-1cm}
\begin{columns}
\begin{column}{8cm}
{\small
\begin{itemize}
\item Évaluation des activités couche par couche : \\
  \begin{eqnarray*}
    y_i^{2} & = & f\left(\sum_j w^{1}_{ij} ~ x_j^{1}\right) \\
    y_i^{3} & = & f\left(\sum_j w^{2}_{ij} ~ y_j^{2}\right) \\
          & \vdots & \\
    y_i^{c} & = & f \left(\sum_j w^{c-1}_{ij} ~ y_j^{c-1}\right) \\
  \end{eqnarray*}
  $\Rightarrow$ \alert{propagation} de l'entrée $\vx$ vers la sortie $\vy$
\end{itemize}
}
\end{column}

\begin{column}{3cm}
\vspace{3cm}
\includegraphics[width=6cm,right,angle=270]{figures/BpMlp}
\end{column}

\end{columns}

\end{frame}

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%\subsection*{Le perceptron multi-couches : apprentissage}
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\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron multi-couches : apprentissage}
  
\begin{itemize}
  \item
  utiliser une \alert{base d'apprentissage} avec des exemples typiques
  et des réponses désirées :
  $\{(\vx^{1}, \vc^{1}), \ldots (\vx^{N}, \vc^{N})\}$
  \item 
  minimiser un \alert{critère de différence} entre $\vy$ et $\vc$~:
  \[
    J = \sum_{\textrm{\small ex. } e} E(\vy^{e}, \vc^{e})
  \]
  par une \alert{méthode numérique d'optimisation}, \\
  p.ex. par descente de gradient~:
  \[
    \wij^{nouv} = \wij^{avant}
       - \lambda \frac{\partial J}{\partial \wij}
  \]
  \item[$\Rightarrow$] 
  comment calculer $\ds {\partial E} / {\partial \wij}$ ?
  \begin{itemize}
    \item[a)] couche de sortie : facile
    \item[b)] couche cachée : \tabtl{problématique puisqu'on n'a plus les valeurs désirées}
  \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

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\begin{frame}
\small
\frametitle{Rétro-propagation du gradient (Backpropagation)}
\vfill
\centering{
\tabcc{\includegraphics[width=6cm]{figures/mlp_bp_grad}}
\hspace{1cm}
$\begin{array}[c]{rcl}
  h_j & = & f(z_j) \\
  z_j & = & \ds \sum_k v_{jk} x_k \\[5mm]
  y_i & = & f(a_i) \\
  a_i & = & \ds \sum_j \wij h_j \\
\end{array}$
}
\vfill
\end{frame}

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\begin{frame}
\small
\frametitle{Rétro-propagation du gradient (Backpropagation)}

%\includegraphics[width=3cm,right]{figures/mlp_bp_grad}

\[
\begin{array}[t]{rcl}
  \multicolumn{3}{l}{\mbox{Couche de sortie :}} \\[10pt]
  \ds \frac{\partial E}{\partial \wij}
    & = & \ds \underbrace{\frac{\partial E}{\partial a_i}}_{\delta_i}
        \, \frac{\partial a_i}{\partial \wij}
     %%= \delta_i \, \frac{\partial}{\partial a_i} \sum_j \wij h_j 
     = \delta_i \, h_j \\[30pt]
  \mbox{ avec } \delta_i
     & = & \ds \frac{\partial E}{\partial y_i}
         \, \frac{\partial y_i}{\partial a_i} \\[15pt]
    & = & \ds \frac{\partial E}{\partial y_i} \, f'(a_i)
\end{array}
\hspace{0cm}
\begin{array}[t]{rcl}
  \multicolumn{3}{l}{\mbox{Couche cachée :}} \\[10pt]
  \ds \frac{\partial E}{\partial v_{jk}}
    & = & \ds \underbrace{\frac{\partial E}{\partial z_j}}_{\gamma_j}
        \, \frac{\partial z_j}{\partial v_{jk}}
    %%= \gamma_j \frac{\partial}{\partial z_j} \sum_j v_{jk} h_j 
    = \gamma_j  \,x_k \\[30pt]
  \mbox{ avec } \gamma_j
    & = & \ds \sum_i \frac{\partial E}{\partial a_i} \,
          \frac{\partial a_i}{\partial h_j} \,
          \frac{\partial h_j}{\partial z_j} \\[15pt]
    & = & \ds \sum_i \delta_i \, \wij \, f'(z_j) \\
    & = & f'(z_j) \ds \sum_i \delta_i \wij
\end{array}
\]

\vfill
\centerline{\Ra\ calcul itératif de la sortie vers l'entrée}
\end{frame}

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\begin{frame}
\frametitle{Backpropagation~: fonctions d'erreurs}

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\textbf{Pour chaque type de problème~:} 
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\begin{itemize}
\item  Quelle fonction d'activation ?
\item  Quelle fonction d'erreur ?
\end{itemize}


\begin{block}{Régression~:} 
\begin{itemize}
\item[\ra] estimer une valeur dans un ensemble continu de réel
\item fonction d'activation linéaire + erreur euclidienne
\end{itemize}
\[
\begin{array}[t]{rcl@{\hspace{2cm}}rcl}
  y_i & = & a_i 
  & \ds \partial y_i / \partial a_i & = & 1 \\[6pt]
  E(\vy,\vc) & = & \half \ds \sum_i (y_i-c_i)^2
  & \ds {\partial E} / {\partial y_i} & = & \ds (y_i - c_i)
\end{array}
\]
\end{block}
\end{frame}

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\begin{frame}
\frametitle{Backpropagation~: fonctions d'erreurs}
\begin{block}{Classification~: sigmoïde + erreur euclidienne}
  \begin{itemize}
\item      réponses désirées $\pm 0.6$ pour éviter la saturation
\end{itemize}
\[
\begin{array}[t]{rcl@{\hspace{1cm}}rcl}
  y_i & = & \tanh(a_i) 
  & \ds {\partial y_i} / {\partial a_i} & = & 1 - y_i^2 \\[6pt]
  E(\vy,\vc) & = & \half \ds \sum_i (y_i-c_i)^2
  & \ds {\partial E} / {\partial y_i} & = & \ds (y_i - c_i)
\end{array}
\]
\end{block}

\begin{block}{Probabilités \textit{a posteriori}~: softmax + cross-entropie }
\[
\begin{array}[t]{rcl@{\hspace{1cm}}rcl}
  y_i & = & \ds \frac{e^{a_i}}{\sum_k e^{a_k}}
  & \ds {\partial y_i} / {\partial a_k} & = & \delta_{ik}y_i - y_i y_k \\[10pt]
  \ds E(\vy,\vc) & = & \ds \sum_i c_i \log y_i
  & \ds {\partial E} / {\partial y_i} & = & \ds \frac{c_i}{y_i}
\end{array}
\]
\end{block}
\end{frame}


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%\subsection*{Astuces}
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\begin{frame}
\frametitle{Déroulement d'un apprentissage}

\begin{itemize}
  \item[1.] Normaliser les données
  \item[2.] Initialiser les poids $\mW$
  \item[3.] \alert{Répéter}
        \begin{itemize}
        \item Choisir un exemple $(\vx,\vc)$
        \item Propager l'exemple $\vx$ à travers le réseau \ra\ $\vy$
        \item Évaluer la fonction d'erreur $E(\vy,\vc)$
        \item Rétro-propager le gradient d'erreur \ra\ $\nabla \wij$
        \item Mise à jour des poids $W$
        \item Modifier éventuellement les paramètres d'apprentissage 
        \item[\ra] cf. $\lambda$ plus loin.
        \end{itemize}
  \item[  ] \alert{Jusqu'à convergence}
\end{itemize}
\end{frame}

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\begin{frame}
\frametitle{Backpropagation: normalisation et initialisation}

\centerline{
\tabcc{\includegraphics[width=4cm]{figures/tanh}}
\hspace{5mm}
\begin{tabular}[c]{l}
  Si l'activité $|a|$ est très grande \\
  $\rightarrow$ $f'(a)$ est faible \\
  $\rightarrow$ convergence est lente
\end{tabular}
}

\begin{itemize}
  \item Normalisation des entrées du réseau~:\\
          \tabtl{soustraire la moyenne et diviser par la variance}
  \item Initialisation des poids~: 
          avec des valeurs aléatoires dans $[-1/\sqrt{f},1/\sqrt{f}]$ \\
$f$ est le \textit{fan-in} (nombre de poids arrivant à ce neurone)
          
  \item[\Ra] $\ds a = \sum_i w_i x_i$ est relativement petit
\end{itemize}
\end{frame}


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\begin{frame}[t]
\frametitle{Backpropagation~: choix des exemples}

\begin{block}{\bf Théorie~:}
  minimiser $\ds J=\sum_{e \in App} E(\vy^{e}, \vc^{e})$ avec $App$ les exemples d'apprentissage
\end{block}

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{\bf Méthode \alert{\textit{batch}}~:}
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\begin{itemize}
    \item présenter \textbf{tous} les exemples et cumuler les
          $\partial E / \partial \wij$
  \item puis faire une mise à jour des poids
  \item[\ra] problème~: convergence est très lente
\end{itemize}

\end{frame}

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\begin{frame}[t]
\frametitle{Backpropagation~: choix des exemples}

\begin{block}{\bf Théorie~:}
  minimiser $\ds J=\sum_{e \in App} E(\vy^{e}, \vc^{e})$ avec $App$ les exemples d'apprentissage
\end{block}

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{\bf Méthode \alert{\textit{stochastique}}~:}
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\begin{itemize}
  \item mise à jour des poids après \textbf{chaque} exemple (choix aléatoire !)
  \item[+] on profite des redondances entre les exemples
  \item[--] $E$ (erreur) peut augmenter, mais cela permet éventuellement de s'échapper d'un minimum local
\end{itemize}

\end{frame}


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%%\begin{frame}
%%
%%\frametitle{Backpropagation~: Algorithmes d'Optimisation}
%%
%%\vfill
%%\centerblock{16cm}{
%%\begin{block}{\bf Théorie~:}
%%\begin{itemize}
%%  \item[1.] descente de gradient
%%  \item[2.] gradients conjugués
%%  \item[3.] méthode de Newton
%%  \item[4.] méthodes quasi-Newton
%%\end{itemize}
%%}
%%\vfill
%%
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\begin{frame}
\frametitle{Backpropagation~: paramètres d'apprentissage}

\vspace{-1cm}
\[
  \wij^{nouv} = \wij^{avant} - \lambda \frac{\partial E}{\partial \wij}
\]

\begin{block}{Théorie~:}
\begin{itemize}
  \item $\lambda$ trop petit $\rightarrow$ convergence est très lente
  \item $\lambda$ trop grand $\rightarrow$ oscillations ou divergence
  \item Calcul exact possible mais trop coûteux
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{Pratique~:}
\begin{itemize}
  \item décroissance exponentielle~:
          $\ds \lambda' = \frac{\lambda}{1+nbr\_iter}$
  \item il y a plein d'autres heuristiques
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}

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\begin{frame}
  \frametitle{Réseaux de Neurones en pratique}
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  \textbf{Architecture du réseau}
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  \begin{itemize}
    \item Dimension de l'entrée généralement donnée par le problème
    \item Nombre de sorties = nombre de classes
    \item Combien de couches cachées et combien de neurones ?
\begin{itemize}
    \item[\Ra] c'est la magie noire des RdN ... !!
    \item Pas de règles prédéfinie pour déterminer le nombre optimal
    \item Il faut essayer différentes structures et garder celle qui
	donne les meilleurs résultats sur les données de développement
\end{itemize}
  \end{itemize}
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\begin{frame}
  \frametitle{Réseaux de neurones en pratique}
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  \textbf{Apprentissage}
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  \begin{itemize}
    \item Il est important de mélanger les exemples \\
	
	\begin{itemize}
\item[\ra] pas une classe après l'autre !
\end{itemize}

    \item Le choix des paramètres d'apprentissage
    \begin{itemize}
\item $\lambda$ + heuristique de mise à jour
\item initialisation
\end{itemize}

    \item On veut apprendre les caractéristiques du problème et
	pas tous les moindres détails des données d'apprentissage
	\begin{itemize}
	\item Quand faut-il arrêter l'apprentissage (convergence) ?
	\item Calculer le taux d'erreur sur les données de développement après chaque itération
 	\item[\Ra] Arrêter l'apprentissage lorsqu'il diminue plus
	\item[\ra] conserver un pouvoir de généralisation important
	\item[\ra] éviter le \alert{sur-apprentissage}
	\end{itemize}
 %   \item Effet de \textbf{sur-apprentissage}
  \end{itemize}
\end{frame}