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%\section{Perceptron}
%\subsection{Biologie}
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%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Le Cerveau Humain}

\centerline{ \includegraphics[width=0.5\textwidth]{figures/brain} }
Est-ce qu'on peut créer des machines intelligentes qui ont un fonctionnement
similaire à celui d'un cerveau humain ?
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Le Cerveau Humain}

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\textbf{Caractéristiques :}
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\begin{itemize}
  \item 10 billions  = $10.10^{12}$  cellules nerveuses (neurones)
  \item Chacune connectée à 10~000 autres via les \alert{synapses} 
  \item Faible dégradation en cas de dommages partiels
  \item Certaines tâches peuvent être reprises par d'autres zones
  \item Apprentissage à partir des expériences
  \item Calcul lent (100 Hz), mais massivement parallèle\\
	$\rightarrow$ très efficace
  \item[] Exemple : \tabtl{
	    perception visuelle très complexe en 100ms \\
            (\cad\ en 10 opérations !) }
\end{itemize}
\end{frame}

%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Comparaison cerveau humain / ordinateur}

\begin{textblock*}{40mm}[0,0](113mm,20mm)
	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/ibm-puce-neurosynaptique}
\end{textblock*}

\begin{tabular}{|c||c|c|}
 \hline
                      & cerveau humain & ordinateur \\
 \hline
 \hline
 élément de calcul    & $10^{14}$ synapses & $7*10^9$ transistors \\
 % Intel i7, 730M transsist, 34nm, 
 \hline
 taille d'un élément  & $10^{-6}$ m & $3^{-9}$ m \\
 \hline
 besoin  d'énergie    & 30 W & 45-130 W (CPU) \\
 \hline
 vitesse de calcul    & 100Hz & 3,5GHz \\
 \hline
 type de calcul       & \tabcc{parallèle \\ distribué} & \tabcc{multi-core \\ centralisé} \\
 \hline
 tolérance aux fautes & oui & non \\
 \hline
 apprentissage        & oui & un peu \\
 \hline
 conscience           & normalement & pas encore \\
 \hline
\end{tabular}

\end{frame}

%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{La Cellule Nerveuse}

\includegraphics[width=0.95\textwidth]{figures/neurone}

\end{frame}

%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{La Cellule Nerveuse}

\begin{itemize}
  \item Réception des stimulations des autres cellules via les synapses
  \item Ces stimulations sont additionnées
  \item Lorsque cette somme dépasse un seuil la cellule envoie une stimulation 
        électrique le long de son axone (\alert{dépolarisation})
  \item Pendant une certaine période la cellule ne peut envoyer de nouvelles
        stimulations \alert{période de réfraction}
  \item Les bouts de l'axone touchent presque le corps ou les dendrites d'autres
        cellules
  \item La transmission de l'impulsion électrique se fait par des
        \alert{neuro-transmetteurs}
  \item La transmission dépend de la quantité de neuro-transmetteurs disponibles,
        du nombre et de l'arrangement des synapses, de l'absorption des neuro-transmetteurs
        par des récepteurs, ...
\end{itemize}
\end{frame}

%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Apprentissage dans le cerveau humain}

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\textbf{Principes :}
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\begin{itemize}
  \item Modification de la force des connexions
  \item Ajout ou suppression de connexions
  \item Aucune supervision n'est nécessaire
  \item ...
\end{itemize}
\end{frame}

%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Principe de Hebb}

\begin{itemize}
%\begin{center}
\item[] \centering \textit{
Si un axone de la cellule A excite la cellule B de façon répétitive
ou persistante, un processus de croissance ou des changements métaboliques
se mettent en place de sorte que la stimulation de la cellule B par la cellule A
augmente.}
\item[] 
\item[] Hebb: \alert{``Neurons that fire together, wire together''}
%\end{center}
\end{itemize}

%\vspace{1cm}
\begin{itemize}
  \item Cellules actives en même temps \\
	$\rightarrow$ renforcer les connexions
  \item Cellules pas actives en même temps \\
	$\rightarrow$ affaiblir les connexions
  \item[$\Rightarrow$] \alert{Processus local}
	il n'y a pas de supervision globale
\end{itemize}
\end{frame}


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%\subsection{Modèle}
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\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron}

Petite unité de calcul vaguement inspirée par le fonctionnement supposé
du cerveau humain
\vfill

\centerline{
\begin{tabular}[c]{cc}
  \begin{tabular}[c]{c}
  \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figures/BpNeurone}
  \end{tabular}
  \hspace*{-1cm}
  &
  \begin{tabular}[c]{rl}
    entrées: & $x_i$ \\
    poids: & $w_i$ \\
    seuil: & $s$ \\
    activité: & $\displaystyle a = \sum_i w_i x_i + s$ \\
    sortie: & $y=f(a)$ \\
  fonction d'activité: & $f=seuil(a)$
  \end{tabular}
\end{tabular}
}
\vfill
\vfill

\centerline{une entrée imaginaire qui vaut toujours 1 permet d'ajouter}
\centerline{le seuil $s$ au vecteur de poids $\Rightarrow$ facilite la notation.}
\end{frame}

%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Le Perceptron et les fonctions logiques}


\begin{itemize}
  \item Les fonctions logiques : 
	\begin{itemize}
	  \item entrées: binaires 0 ou 1
	  \item sortie: binaire 0 ou 1
	\end{itemize}
  \item fonction d'activité du perceptron: f=seuil(a) 
  \item : ex. fonction seuil
          \tabcc{
            \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figures/BpSeuil}
          }
\end{itemize}

\vfill
\centerline{
  $\Rightarrow$
  \tabtl{on peut facilement déterminer les poids $w_i$ et le seuil $s$ \\
      pour réaliser des fonctions logiques OU, ET et NON}
}
\vfill
\end{frame}

%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Le Perceptron et les fonctions logiques}

\begin{tabular}[t]{c}
  y = a OU b \\[10pt]
  \includegraphics[height=0.7\textheight]{figures/or}
\end{tabular}
\hfill
\begin{tabular}[t]{c}
  y = a ET b \\[10pt]
  \includegraphics[height=0.7\textheight]{figures/and}
\end{tabular}
\hfill
\begin{tabular}[t]{c}
  y = a XOR b \\[10pt]
  \includegraphics[height=0.7\textheight]{figures/xor}
\end{tabular}

\end{frame}

%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Le Perceptron pour la classification}


\begin{itemize}
  \item entrées: vecteur $\vx$ de dimension $d$, valeurs réelles
  \item sortie: classe A si $a \ge 0$, classe B si $a<0$.
  \item fonction d'activité: f=sign(a) \\
    \item fonction signe :
        \tabcc{ 
          \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figures/BpSign}
 }
\end{itemize}

\vfill
\begin{block}{Problèmes :}
\begin{itemize}
  \item est-ce qu'on peut résoudre tout problème de classification ? 
  \item comment déterminer les valeurs des poids et du seuil ?
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}

%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron}

\begin{textblock*}{55mm}[0,0](93mm,0mm)
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/lin_sep}
\end{textblock*}


\begin{itemize}
\item  frontière de décision : $\ds \sum_i w_i x_i + s = 0$ 
\item[]
\item[]
\item[]
\item[]
\item[]
\item Le perceptron ne peut résoudre que des problèmes qui sont  \alert{linéairement séparables}
%\vfill

\begin{block}{Minsky \& Pappert, 1969~:}
      \centering {\it ``Le perceptron ne sert à rien puisqu'il ne sait même pas résoudre le ou exclusif.''}

\end{block}
\end{itemize}
\end{frame}

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%\subsection{Apprentissage}
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%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron : apprentissage}

\begin{itemize}
  \item Objectif : avoir un algorithme qui détermine les paramètres du
  perceptron pour un problème de classification donné.
  \item Moyen : une \alert{base d'apprentissage} avec des exemples typiques $\vx$
  et des réponses désirées $\vc$ ($\leadsto$ classe) : \\
  $\{(\vx^{1}, \vc^{1}), \ldots , (\vx^{N}, \vc^{N})\}$
$\vx \in \R^p$ et $\vc=\pm 1$
  \item[$\Rightarrow$] 
  trouver $\vw$ et $s$ par une méthode automatique tels que:
  \begin{eqnarray*}
    \vw^t \vx + s & >= & 0 \hs \mbox{pour tous les $\vx$ de la classe A (+1)} \\
    \vw^t \vx + s & < & 0 \hs \mbox{pour tous les $\vx$ de la classe B (-1)} \\
  \end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{frame}


%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Le Perceptron : simplification de notation}

\begin{itemize}
  \item Incorporer le seuil $s$ dans le vecteur des poids :
  \[
    {\vw}^t \vx + s \gl 0
    \Longleftrightarrow
    (s, w_1, \ldots, w_p) \vect{1 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_p}
    = \bar{\vw}^t \bar{\vx} \gl 0
  \]

  \item Inverser tous les exemples de la classe B:
  \begin{itemize}
    \item[] les exemples de la classe B sont correctement classés si
    \[ \bar{\vw}^t \bar{\vx} < 0    \hs\Longleftrightarrow\hs
      \bar{\vw}^t (-\bar{\vx}) >= 0 
    \]

    \item[$\Rightarrow$] classification correcte si
    \begin{eqnarray*}
      \bar{\vw}^t \hat{\vx} & >= & 0
        \mbox{~pour tous les $\vx$ } \\
      \mbox{avec } \hat{\vx} & = & \left\{ \begin{array}[c]{rl}
         \bar{\vx} & \mbox{si } x \in \mbox{ classe A} \\
        -\bar{\vx} & \mbox{si } x \in \mbox{ classe B} \\
      \end{array} \right.
    \end{eqnarray*}
  \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

%\begin{frame}
%\frametitle{Le Perceptron : Algorithme d'Apprentissage}
%
%\centerline{La solution, lorsqu'elle existe, est en générale pas unique}
%
%
%\vfill
%\centerline{DUDA}
%\vfill
%

\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron : algorithme d'apprentissage}

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\begin{block}{\textbf{Règle du perceptron (correction d'erreur) :}}
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Répéter tant qu'il y a des exemples mal classés :
\begin{itemize}
  \item  classer l'exemple courant $\vx$ : \\
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	\begin{itemize}
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		\item[] si réponse correcte $(\bar{\vw}^t \hat{\vx} >= 0) $  alors  $\hat{\vw}_{(i+1)} = \hat{\vw}_{(i)} $ \\
		\item[]  si réponse fausse   $(\bar{\vw}^t \hat{\vx} < 0) $ alors $\hat{\vw}_{(i+1)} = \hat{\vw}_{(i)} + \hat{\vx} $
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	\end{itemize}
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\end{itemize}
\end{block}

\vfill
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\textbf{Variantes :}
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\begin{itemize}
 \item[1)]
 \begin{itemize}
  \item[a.] recommencer avec le 1er ex. après chaque changement de $\hat{\vw}$
  \item[b.] présentation cyclique des exemples
 \end{itemize}
 \item[2)]
 \begin{itemize}
  \item[a.] changement de $\hat{\vw}$ à chaque erreur
  \item[b.] cumul des changements de tous les exemples 
      mal classés et une seule mise à jour de $\hat{\vw}$ 
      par passe à travers la base d'apprentissage
 \end{itemize}
\end{itemize}
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457
\end{frame}


%Exercice
%\begin{frame}
%\frametitle{Le perceptron : algorithme d'apprentissage : application}
%
%%\begin{block}{\bf Exemple :}
%On dispose des points d'apprentissage suivants pour les classes : \\
%\centerline{
%$\omega_1$ = $\left\{\tb{0\\2}, \tb{0\\0}, \tb{0\\-2}\right\}$ 
%$\omega_2$ = $\left\{\tb{1\\0}, \tb{3\\0}, \tb{5\\0}\right\}$
%}
%\vspace{10pt}
%
%On considère un classifieur à correction d'erreur qui parcourt les points dans l'ordre
%de façon cyclique et qui modifie le vecteur normal à chaque point mal classé.
%Le vecteur initial vaut $(1, 0, 0)^t$.
%\begin{itemize}
%  \item [a.]
%  Dérouler l'algorithme. En combien d'itérations l'algorithme converge-t-il ?
%  \item [b.]
%  Calculer l'équation de la surface de décision et en déduire la
%  règle de décision.
%  \item [c.]
%  Tracer sur une même figure les points d'apprentissage et la surface de décision.
%\end{itemize}
%%\end{block}
%\end{frame}


%\begin{frame}
%\frametitle{Le perceptron : algorithme d'apprentissage}
%
%{\bf Relation avec le principe de Hebb} : \\
% \textit{"renforcer la connexion entre deux neurones actifs simultanément"}
%
%\begin{itemize}
% \item
% ici: changements du poids $w_i$ est fonction du produit entre l'entrée
%    $x_i$ et la réponse désirée $\vc$ :
% \begin{eqnarray*}
%   \bar{w_i} & = & \bar{w_i} + \Delta \bar{w_i} \\
%   \mbox{avec } \Delta \bar{w_i} & = & \left\{ \begin{array}[c]{ll}
%       0 & \mbox{si } o = \vc \\
%       \bar{x_i} \vc & \mbox{sinon} 
%     \end{array} \right. \\
% \end{eqnarray*}
% \item[$\Rightarrow$] identique à l'algorithme de correction d'erreur (rappel: $\vc=\pm1$)
% \item d'autres façons d'écrire la formule :
% \begin{eqnarray*}
%   \Delta \bar{w_i}
%     & = & \half \, (1-\vc o) \, \bar{x_i} \vc \\
%     & = & \half \, (\vc - o) \, \bar{x_i} 
% \end{eqnarray*}
%\end{itemize}
%\vfill
%
%\end{frame}



\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron : inconvénients}

\begin{itemize}
  \item
  L'algorithme ne converge que si le problème est \alert{linéairement
  séparable}. Sinon le comportement n'est pas défini.
  Il n'est pas certain qu'il trouve une solution approchée.
  \item
  Qualité de la solution non garantie
\vfill
  \includegraphics[width=0.6\textwidth,center]{figures/BpPercGen1}
\end{itemize}
\end{frame}



\begin{frame}
\frametitle{Le perceptron : inconvénients}
\begin{itemize}
  \item
  Dans certains problèmes, il peut être préférable de commettre
  quelques erreurs, plutôt que de donner une solution sur des cas trop
  spécifiques (probablement erronés).
\vfill
  \includegraphics[width=0.6\textwidth,center]{figures/BpPercGen2}
\end{itemize}
\end{frame}

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\begin{frame}
\frametitle{Adaline}

\begin{itemize}
  \item
  L'\textbf{Ada}ptive \textbf{Li}near \textbf{Ne}uron a été
  développé dans le contexte du traitement du signal (1960).
  \item
  Neurone qui possède des valeurs d'activation continues et une fonction
  d'activation \textbf{linéaire}.
\end{itemize}

\vfill
\begin{tabular}[c]{cc}
  \begin{tabular}[c]{c}
  \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figures/BpNeurone}
  \end{tabular}
  \hspace{-1.7cm}
  &
  \begin{tabular}[c]{rl}
    entrées: & $x_i$ \\
    poids: & $w_i$ \\
    seuil: & $s$ \\
    activation: & $\ds a = \sum_i w_i x_i + s$ \\
    sortie: & $y=f(a)$ \\
    fonction d'activation: & $f(a) : y=a$ 
  \end{tabular}
\end{tabular}
\vfill
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Adaline: algorithme d'apprentissage}
\vfill
\centerline{Règle de Widrow et Hoff : Delta règle}
\vfill
\begin{block}{\bf Principe :}
Descente de gradient sur une fonction d'erreur $f$ %quadratique
\[
%    E = \half \sum_{ex \, e} \left( a^{e} - \vc^{e} \right)^2 
	w_{i,j}(t+1) = w_{i,j}(t) - \lambda \, (a - \vc ) \, x_j
\]
\end{block}
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\begin{columns}[T]
\column{.4\textwidth}
	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/GradDesc1}
\column{.59\textwidth}
	\begin{itemize}
		\item   \alert{Minimiser $f(x)$ :} 
		\item     Choisir point de départ $x_0$ 
		\item     Procédure itérative : 
		\begin{itemize}
			\item    faire un petit pas dans la direction de la plus grande pente (gradient négatif) 
		\end{itemize}
		\item    $\ds x_{t+1} = x_t - \lambda \frac{\partial f(x)}{\partial x}$ 
	\end{itemize}
\end{columns}
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\end{frame}
  
%----------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Adaline: algorithme d'apprentissage}

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\textbf{Principe : Descente de gradient sur une mesure d'erreur quadratique}
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\[
    E = \half \sum_{ex \, e} \left( a^{e} - \vc^{e} \right)^2
\]

Calcul pour un exemple (on ignore la somme sur les exemples) :
\begin{eqnarray*}
  E & = & \half \, (a - c)^2 \\
  w_i & = & w_i - \lambda \Delta w_i \\[4mm]
  \mbox{avec }
  \Delta w_i & = & \frac{\partial E}{\partial w_i} 
\end{eqnarray*}
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\end{frame}

%----------------------------------------------------------------
\begin{frame}
\frametitle{Adaline: algorithme d'apprentissage}

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{\bf Suite : \color{edinred}{chain rule}}
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\begin{eqnarray*}
  E & = & \half \, (a - \vc)^2 \\
  w_i & = & w_i - \lambda \Delta w_i \\[8mm]
  \mbox{avec }
  \Delta w_i & = & \frac{\partial E}{\partial w_i} 
    = \frac{\partial E}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial w_i} \\
  & = &
    \frac{\partial}{\partial a} \,\, \left( \half \, (a - \vc)^2 \right)
    \frac{\partial}{\partial w_i} \,\, \left( \sum_j w_j x_j \right) \\
  & = & (a - \vc) \, x_i
\end{eqnarray*}
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\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Comparaison perceptron/Adaline}

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\scriptsize
\begin{tabular}{|r||c|c|}
\hline
 & Règle du perceptron & Règle de Widrow-Hoff \\
\hline
\hline
\tabcc{critère \\ minimisé}
 & $\ds E=\sum_{\mbox{\tiny \tabcc{exemples $e$ \\ mal classés}}}
   \left( -\bar{\vw}^t \hat{\vx}^{e} \right)$
 & $\ds E=\sum_e \left( \bar{\vw}^t \bar{\vx}^{e} - \vc^{e} \right)^2$
\\
\hline
%
\tabcc{mise à jour \\ des poids}
 & $\Delta \bar{\vw} = \hat{\vx} \hs\mbox{si}\hs \bar{\vw}^t \hat{\vx}<0$
 & $\begin{array}[t]{rl}
    \Delta \vw = & \epsilon \,(\bar{\vw}^t \bar{\vx} - \vc) \,\vx \\
    \mbox{avec} & \epsilon \,\rightarrow 0
  \end{array}$
\\[20pt]
\hline
%
\tabcc{corrections \\ des poids}
 & de taille fixe
 & \tabcc{la taille est \\ fonction de l'erreur}
\\
\hline
%
\tabcc{convergence}
 & \begin{tabular}[c]{l}
  linéairement séparable : \\
  \hs $\rightarrow$ convergence \\[10pt]
  pas linéairement séparables : \\
  \hs $\rightarrow$ comportement indéfini
   \end{tabular}
 & \tabcc{
  minimisation d'une \\ fonction qui tient  \\
  compte du \\ comportement désiré
   }
\\[20pt]
\hline
\end{tabular}
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\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Perceptron et Adaline : Conclusion}

\begin{itemize}
  \item
  Le perceptron et l'Adaline sont deux modèles de systèmes adaptatifs basés
  sur des simples automates linéaires.
  \item
  Ils peuvent apprendre à l'aide d'une base d'exemples à construire un
  classifieur grâce à une procédure d'apprentissage qui modifie leurs poids.
  \item
  La règle d'apprentissage de l'Adaline se comporte mieux que la règle du
  Perceptron.
  Elle converge toujours vers une solution qui minimise l'erreur entre les sorties
  réelles et les sorties désirées.
  \item
  Mais, l'erreur quadratique ne minimise pas forcément le nombre
  de mauvaises classifications.
  \item
  En plus, ces modèles sont intrinsèquement limités à des simples
  problèmes linéairement séparables.
\end{itemize}
\end{frame}